И снова здравствуйте, друзья!
Как я и обещал, с этого урока мы начнём бороздить бескрайние просторы поэтического мира интегралов и приступим к решению самых разнообразных (порой, очень красивых) примеров. :)
Чтобы грамотно ориентироваться во всём интегральном многообразии и не заблудиться, нам потребуется всего четыре вещи:
1) Таблица интегралов. Все подробности о ней – . Как именно с ней работать – в этом.
2) Свойства линейности неопределённого интеграла (интеграл суммы/разности и произведения на константу).
3) Таблица производных и правила дифференцирования.
Да-да, не удивляйтесь! Без умения считать производные, в интегрировании ловить совершенно нечего. Согласитесь, бессмысленно, например, учиться делению, не умея умножать. :) И очень скоро вы увидите, что без отточенных навыков дифференцирования не посчитать ни один сколь-нибудь серьёзный интеграл, выходящий за рамки элементарных табличных.
4) Методы интегрирования.
Их очень и очень много. Для конкретного класса функций – свой. Но среди всего их богатого разнообразия выделяется три базовых:
– ,
– ,
– .
О каждом из них – в отдельных уроках.
А теперь, наконец, приступим к решению долгожданных примеров. Чтобы не скакать из раздела в раздел, я продублирую ещё разок весь джентльменский набор, который пригодится для нашей дальнейшей работы. Пусть весь инструментарий будет под рукой.)
Прежде всего, это таблица интегралов :
Кроме того, нам понадобятся базовые свойства неопределённого интеграла (свойства линейности):
Что ж, необходимая снаряга подготовлена. Пора в путь! :)
Прямое применение таблицы
В данном параграфе будут рассматриваться самые простые и безобидные примеры. Алгоритм здесь прост до ужаса:
1) Смотрим в таблицу и ищем нужную формулу (формулы);
2) Применяем свойства линейности (где требуется);
3) Осуществляем превращение по табличным формулам и прибавляем в конце константу С (не забываем!) ;
4) Записываем ответ.
Итак, поехали.)
Пример 1
Такой функции в нашей таблице нет. Зато есть интеграл от степенной функции в общем виде (вторая группа). В нашем случае n = 5 . Вот и подставляем пятёрку вместо n и аккуратно считаем результат:
Готово. :)
Разумеется, этот пример совсем примитивный. Чисто для знакомства.) Зато умение интегрировать степени позволяет легко считать интегралы от любых многочленов и прочих степенных конструкций.
Пример 2
Под интегралом сумма. Ну и ладно. У нас на этот случай есть свойства линейности. :) Разбиваем наш интеграл на три отдельных, выносим все константы за знаки интегралов и считаем каждый по таблице (группа 1-2):
Прошу обратить внимание: константа С появляется именно в тот момент, когда исчезают ВСЕ знаки интеграла ! Конечно, после этого приходится её постоянно таскать за собой. А что делать…
Разумеется, так подробно расписывать обычно не требуется. Это чисто для понимания сделано. Чтобы суть уловить.)
Например, очень скоро, особо не раздумывая, вы в уме будете давать ответ к монстрам типа:
Многочлены – самые халявные функции в интегралах.) А уж в диффурах, в физике, в сопромате и прочих серьёзных дисциплинах интегрировать многочлены придётся постоянно. Привыкайте.)
Следующий примерчик будет чуть покруче.
Пример 3
Надеюсь, всем понятно, что наше подынтегральное выражение можно расписать вот так:
Подынтегральная функция отдельно, а множитель dx (значок дифференциала) - отдельно.
Замечание: в этом уроке множитель dx в процессе интегрирования пока никак не участвует, и мы на него пока что мысленно "забиваем". :) Работаем только с подынтегральной функцией . Но забывать про него не будем. Совсем скоро, буквально на следующем уроке, посвящённом , мы про него вспомним. И ощутим всю важность и мощь этого значка в полную силу!)
А пока наш взор обращён на подынтегральную функцию
Не очень похоже на степенную функцию, но это она. :) Если вспомнить школьные свойства корней и степеней, то вполне можно преобразовать нашу функцию:
А икс в степени минус две трети – это уже табличная функция! Вторая группа, n=-2/3 . А константа 1/2 нам не помеха. Выносим её наружу, за знак интеграла, и прямо по формуле считаем:
В этом примере нам помогли элементарные свойства степеней. И так надо делать в большинстве случаев, когда под интегралом стоят одинокие корни или дроби. Посему пара практических советов при интегрировании степенных конструкций:
Заменяем дроби степенями с отрицательными показателями;
Заменяем корни степенями с дробными показателями.
А вот в окончательном ответе переход от степеней обратно к дробям и корням – дело вкуса. Лично я перехожу обратно – так эстетичнее, что ли.
И, пожалуйста, аккуратно считаем все дроби! Внимательно следим за знаками и за тем, что куда идёт – что в числитель, а что знаменатель.
Что? Надоели уже скучные степенные функции? Ну ладно! Берём быка за рога!
Пример 4
Если сейчас привести всё под интегралом к общему знаменателю, то можно застрять на этом примере всерьёз и надолго.) Но, присмотревшись повнимательнее к подынтегральной функции, можно заметить, что наша разность состоит из двух табличных функций. Так что не будем извращаться, а вместо этого разложим наш интеграл на два:
Первый интеграл – обычная степенная функция, (2-я группа, n = -1 ): 1/x = x -1 .
Традиционная наша формула для первообразной степенной функции
Здесь не работает, но зато у нас для n = -1 есть достойная альтернатива – формула с натуральным логарифмом. Вот эта:
Тогда, согласно этой формуле, первая дробь проинтегрируется так:
А вторая дробь – тоже табличная функция! Узнали? Да! Это седьмая формула с "высоким" логарифмом:
Константа "а" в этой формуле равна двойке: a=2 .
Важное замечание: Обратите внимание, константу С при промежуточном интегрировании я нигде не приписываю! Почему? Потому что она пойдёт в окончательный ответ всего примера. Этого вполне достаточно.) Строго говоря, константу надо писать после каждого отдельного интегрирования - хоть промежуточного, хоть окончательного: так уж неопределённый интеграл требует...)
Например, после первого интегрирования я должен был бы написать:
После второго интегрирования:
Но вся фишка в том, что сумма/разность произвольных констант - это тоже некоторая константа! В нашем случае для окончательного ответа нам надо из первого интеграла вычесть второй. Тогда у нас получится разность двух промежуточных констант:
С 1 -С 2
И мы имеем полное право эту самую разность констант заменить одной константой! И просто переобозначить её привычной нам буквой "С". Вот так:
С 1 -С 2 = С
Вот и приписываем эту самую константу С к окончательному результату и получаем ответ:
Да-да, дроби они такие! Многоэтажные логарифмы при их интегрировании – самое обычное дело. Тоже привыкаем.)
Запоминаем:
При промежуточном интегрировании нескольких слагаемых константу С после каждого из них можно не писать. Достаточно включить её в окончательный ответ всего примера. В самом конце.
Следующий пример тоже с дробью. Для разминки.)
Пример 5
В таблице, понятное дело, такой функции нет. Но зато есть похожая функция:
Это самая последняя, восьмая формула. С арктангенсом. :)
Вот эта:
И нам сам бог велел подстроить наш интеграл под эту формулу! Но есть одна проблемка: в табличной формуле перед х 2 никакого коэффициента нету, а у нас - девятка. Не можем пока что напрямую воспользоваться формулой. Но в нашем случае проблема вполне решаема. Вынесем эту девятку сначала за скобки, а потом вообще уведём за пределы нашей дроби.)
А новая дробь - уже нужная нам табличная функция под номером 8! Здесь а 2 =4/9 . Или а=2/3 .
Всё. Выносим 1/9 за знак интеграла и пользуемся восьмой формулой:
Вот такой ответ. Этот пример, с коэффициентом перед х 2 , я специально так подобрал. Чтобы ясно было, что делать в таких случаях. :) Если перед х 2 никакого коэффициента нет, то такие дроби тоже будут в уме интегрироваться.
Например:
Здесь а 2 = 5 , поэтому само "а" будет "корень из пяти". В общем, вы поняли.)
А теперь немного видоизменим нашу функцию: напишем знаменатель под корнем.) Вот такой интеграл теперь будем брать:
Пример 6
В знаменателе появился корень. Естественно, изменилась и соответствующая формула для интегрирования, да.) Опять лезем в таблицу и ищем подходящую. Корни у нас есть в формулах 5-й и 6-й групп. Но в шестой группе под корнями только разность. А у нас – сумма. Значит, работаем по пятой формуле , с "длинным" логарифмом:
Число А у нас – пятёрка. Подставляем в формулу и получаем:
И все дела. Это ответ. Да-да, так просто!)
Если закрадываются сомнения, то всегда можно (и нужно) проверить результат обратным дифференцированием. Проверим? А то вдруг, лажа какая-нибудь?
Дифференцируем (на модуль внимания не обращаем и воспринимаем его как обычные скобки):
Всё честно. :)
Кстати, если в подынтегральной функции под корнем поменять знак с плюса на минус, то формула для интегрирования останется той же самой. Не случайно в таблице под корнем стоит плюс/минус. :)
Например:
Важно! В случае минуса, на первом месте под корнем должно стоять именно х 2 , а на втором – число . Если же под корнем всё наоборот, то и соответствующая табличная формула будет уже другая!
Пример 7
Под корнем снова минус, но х 2 с пятёркой поменялись местами. Похоже, но не одно и то же… На этот случай в нашей таблице тоже есть формулка.) Формула номер шесть, с ней мы ещё не работали:
А вот теперь – аккуратно. В предыдущем примере у нас пятёрка выступала в роли числа A . Здесь же пятёрка будет выступать уже в роли числа а 2 !
Поэтому для правильного применения формулы не забываем извлечь корень из пятёрки:
И теперь пример решается в одно действие. :)
Вот так вот! Всего лишь поменялись местами слагаемые под корнем, а результат интегрирования изменился существенно! Логарифм и арксинус… Так что, пожалуйста, не путайте эти две формулы! Хотя подынтегральные функции и очень похожи…
Бонус:
В табличных формулах 7-8 перед логарифмом и арктангенсом присутствуют коэффициенты 1/(2а) и 1/а соответственно. И в тревожной боевой обстановке при записи этих формул даже закалённые учёбой ботаны частенько путаются, где просто 1/а , а где 1/(2а) . Вот вам простой приёмчик для запоминания.
В формуле №7
В знаменателе подынтегральной функции стоит разность квадратов х 2 – а 2 . Которая, согласно боянной школьной формуле, раскладывается как (х-а)(х+а) . На два множителя. Ключевое слово – два . И эти две скобки при интегрировании идут в логарифм: с минусом вверх, с плюсом - вниз.) И коэффициент перед логарифмом тоже 1/(2 а).
А вот в формуле №8
В знаменателе дроби стоит сумма квадратов. Но сумма квадратов x 2 +a 2 неразложима на более простые множители. Поэтому, как ни крути, в знаменателе так и останется один множитель. И коэффициент перед арктангенсом тоже будет 1/а.
А теперь для разнообразия проинтегрируем что-нибудь из тригонометрии.)
Пример 8
Пример простой. Настолько простой, что народ, даже не глядя в таблицу, тут же радостно ответ пишет и… приехали. :)
Следим за знаками! Это самая распространённая ошибка при интегрировании синусов/косинусов. Не путаем с производными!
Да, (sin x )" = cos x и (cos x )’ = - sin x .
Но!
Поскольку производные народ обычно худо-бедно помнит, то, чтобы не путаться в знаках, приём для запоминания интегралов тут очень простой:
Интеграл от синуса/косинуса = минус производная от тех же синуса/косинуса.
Например, мы ещё со школы знаем, что производная синуса равна косинусу:
(sin x )" = cos x .
Тогда для интеграла от того же синуса будет справедливо:
И всё.) С косинусом то же самое.
Исправляем теперь наш пример:
Предварительные элементарные преобразования подынтегральной функции
До этого момента были самые простенькие примеры. Чтобы прочувствовать, как работает таблица и не ошибаться в выборе формулы.)
Конечно, мы делали кое-какие простенькие преобразования – множители выносили, на слагаемые разбивали. Но ответ всё равно так или иначе лежал на поверхности.) Однако… Если бы вычисление интегралов ограничивалось только прямым применением таблицы, то вокруг была бы сплошная халява и жить стало бы скучно.)
А теперь разберём примеры посолиднее. Такие, где впрямую, вроде бы, ничего и не решается. Но стоит вспомнить буквально пару-тройку элементарных школьных формул или преобразований, как дорога к ответу становится простой и понятной. :)
Применение формул тригонометрии
Продолжим развлекаться с тригонометрией.
Пример 9
Такой функции в таблице и близко нет. Зато в школьной тригонометрии есть такое малоизвестное тождество:
Выражаем теперь из него нужный нам квадрат тангенса и вставляем под интеграл:
Зачем это сделано? А затем, что после такого преобразования наш интеграл сведётся к двум табличным и будет браться в уме!
Смотрите:
А теперь проанализируем наши действия. На первый взгляд, вроде бы, всё проще простого. Но давайте задумаемся вот над чем. Если бы перед нами стояла задача продифференцировать ту же самую функцию, то мы бы точно знали, что именно надо делать – применять формулу производной сложной функции :
И всё. Простая и безотказная технология. Работает всегда и гарантированно приводит к успеху.
А что же с интегралом? А вот тут нам пришлось порыться в тригонометрии, откопать какую-то малопонятную формулу в надежде, что она нам как-то поможет выкрутиться и свести интеграл к табличному. И не факт, что помогла бы она нам, совсем не факт… Именно поэтому интегрирование – более творческий процесс, нежели дифференцирование. Искусство, я бы даже сказал. :) И это ещё не самый сложный пример. То ли ещё будет!
Пример 10
Что, внушает? Таблица интегралов пока бессильна, да. Но, если снова заглянуть в нашу сокровищницу тригонометрических формул, то можно откопать весьма и весьма полезную формулу косинуса двойного угла:
Вот и применяем эту формулу к нашей подынтегральной функции. В роли "альфа" у нас х/2.
Получаем:
Эффект потрясающий, правда?
Эти два примера наглядно показывают, что предварительное преобразование функции перед интегрированием вполне допускается и порой колоссально облегчает жизнь! И в интегрировании эта процедура (преобразование подынтегральной функции) на порядок более оправдана, чем при дифференцировании. В дальнейшем всё увидите.)
Разберём ещё парочку типовых преобразований.
Формулы сокращённого умножения, раскрытие скобок, приведение подобных и метод почленного деления.
Обычные банальные школьные преобразования. Но порой только они и спасают, да.)
Пример 11
Если бы мы считали производную, то никаких проблем: формула производной произведения и – вперёд. Но стандартной формулы для интеграла от произведения не существует. И единственный выход здесь – раскрыть все скобки, чтобы под интегралом получился многочлен. А уж многочлен мы как-нибудь проинтегрируем.) Но скобки раскрывать тоже будем с умом: формулы сокращённого умножения – штука мощная!
(x 2 - 1) 2 (x 2 + 1) 2 = ((x 2 - 1)(x 2 + 1)) 2 = ((x 2) 2 - 1 2) 2 = (x 4 - 1) 2 = x 8 - 2x 4 + 1
А теперь считаем:
И все дела.)
Пример 1 2
Опять же, стандартной формулы для интеграла от дроби не существует. Однако в знаменателе подынтегральной дроби стоит одинокий икс. Это в корне меняет ситуацию.) Поделим почленно числитель на знаменатель, сведя нашу жуткую дробь к безобидной сумме табличных степенных функций:
Особо комментировать процедуру интегрирования степеней не буду: не маленькие уже.)
Интегрируем сумму степенных функций. По табличке.)
Вот и все дела.) Кстати, если бы в знаменателе сидел не икс, а, скажем, х+1 , вот так:
То этот фокус с почленным делением уже так просто не прошёл бы. Именно из-за наличия корня в числителе и единицы в знаменателе. Пришлось бы и избавляться от корня. Но такие интегралы гораздо сложнее. О них – в других уроках.
Видите! Стоит только чуть-чуть видоизменить функцию – тут же меняется и подход к её интегрированию. Порой кардинально!) Нету чёткой стандартной схемы. К каждой функции – свой подход. Иногда даже уникальный.)
В некоторых случаях преобразования в дробях ещё более хитрые.
Пример 13
А здесь как можно свести интеграл к набору табличных? Здесь можно ловко извернуться добавлением и вычитанием выражения x 2 в числителе дроби с последующим почленным делением. Очень искусный приём в интегралах! Смотрите мастер-класс! :)
И теперь, если заменить исходную дробь на разность двух дробей, то наш интеграл распадается на два табличных – уже знакомую нам степенную функцию и арктангенс (формула 8):
Ну, что тут можно сказать? Вау!
Этот трюк с добавлением/вычитанием слагаемых в числителе – очень популярен в интегрировании рациональных дробей. Очень! Рекомендую взять на заметку.
Пример 14
Здесь тоже рулит эта же технология. Только добавлять/вычитать надо единичку, чтобы из числителя выделить выражение, стоящее в знаменателе:
Вообще говоря, рациональные дроби (с многочленами в числителе и знаменателе) – отдельная очень обширная тема. Дело всё в том, что рациональные дроби - один из очень немногих классов функций, для которых универсальный способ интегрирования существует . Метод разложения на простейшие дроби вкупе с . Но способ этот очень трудоёмкий и обычно применяется как тяжёлая артиллерия. Ему будет посвящён не один урок. А пока что тренируемся и набиваем руку на простых функциях.
Подытожим сегодняшний урок.
Сегодня мы подробно рассмотрели, как именно пользоваться таблицей, со всеми нюансами, разобрали множество примеров (и не самых тривиальных) и познакомились с простейшими приёмами сведения интегралов к табличным. И так мы теперь будем поступать всегда . Какая бы страшная функция ни стояла под интегралом, с помощью самых разнообразных преобразований мы будем добиваться того, чтобы, рано или поздно, наш интеграл, так или иначе, свёлся к набору табличных.
Несколько практических советов.
1) Если под интегралом дробь, в числителе которой сумма степеней (корней), а в знаменателе - одинокая степень икса , то используем почленное деление числителя на знаменатель. Заменяем корни степенями с дробными показателями и работаем по формулам 1-2.
2) В тригонометрических конструкциях в первую очередь пробуем базовые формулы тригонометрии – двойного/тройного угла,
Может очень крупно повезти. А может и нет…
3) Где нужно (особенно в многочленах и дробях), применяем формулы сокращённого умножения:
(a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2
(a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2
(a-b)(a+b) = a 2 -b 2
4) При интегрировании дробей с многочленами пробуем искусственно выделить в числителе выражение(я), стоящее(щие) в знаменателе. Очень часто дробь упрощается и интеграл сводится к комбинации табличных.
Ну что, друзья? Я вижу, интегралы вам начинают нравиться. :) Тогда набиваем руку и решаем примеры самостоятельно.) Сегодняшнего материала вполне достаточно, чтобы успешно с ними справиться.
Что? Не знаете, ? Да! Мы этого ещё не проходили.) Но здесь их напрямую интегрировать и не нужно. И да поможет вам школьный курс!)
Ответы (в беспорядке):
Для лучших результатов настоятельно рекомендую приобрести сборник задач по матану Г.Н. Бермана. Классная штука!
А у меня на сегодня всё. Успехов!
Главные интегралы, которые должен знать каждый студент
Перечисленные интегралы - это базис, основа основ. Данные формулы, безусловно, следует запомнить. При вычислении более сложных интегралов вам придется постоянно ими пользоваться.
Обратите особое внимание на формулы (5), (7), (9), (12), (13), (17) и (19). Не забывайте при интегрировании добавлять к ответу произвольную постоянную С!
Интеграл от константы
∫ A d x = A x + C (1)Интегрирование степенной функции
В действительности, можно было ограничиться только формулами (5) и (7), но остальные интегралы из этой группы встречаются настолько часто, что стоит уделить им немного внимания.
∫
x d x =
x
2
2
+ C
(2)
∫
x
2
d x =
x
3
3
+ C
(3)
∫
1
x
d x = 2
x
+ C
(4)
∫
1
x
d x = ln | x | + C
(5)
∫
1
x
2
d x = −
1
x
+ C
(6)
∫
x
n
d x =
x
n + 1
n + 1
+ C (n ≠ − 1)
(7)
Интегралы от показательной функции и от гиперболических функций
Разумеется, формулу (8) (пожалуй, самую удобную для запоминания) можно рассматривать как частный случай формулы (9). Формулы (10) и (11) для интегралов от гиперболического синуса и гиперболического косинуса легко выводятся из формулы (8), но лучше просто запомнить эти соотношения.
∫
e
x
d x =
e
x
+ C
(8)
∫
a
x
d x =
a
x
ln a
+ C (a > 0, a ≠ 1)
(9)
∫
s h x
d x = c h x + C
(10)
∫
c h x
d x = s h x + C
(11)
Базовые интегралы от тригонометрических функций
Ошибка, которую часто делают студенты: путают знаки в формулах (12) и (13). Запомнив, что производная синуса равна косинусу, многие почему-то считают, что интеграл от функции sinx равен сosx. Это неверно! Интеграл от синуса равен "минус косинусу", а вот интеграл от cosx равен "просто синусу":
∫
sin x d x = − cos x + C
(12)
∫
cos x d x = sin x + C
(13)
∫
1
cos
2
x
d x = t g x + C
(14)
∫
1
sin
2
x
d x = − c t g x + C
(15)
Интегралы, сводящиеся к обратным тригонометрическим функциям
Формула (16), приводящая к арктангенсу, естественно, является частным случаем формулы (17) при a=1. Аналогично, (18) - частный случай (19).
∫
1
1 +
x
2
d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C
(16)
∫
1
x
2
+
a
2
=
1
a
a r c t g
x
a
+ C (a ≠ 0)
(17)
∫
1
1 −
x
2
d x = arcsin x + C = − arccos x + C
(18)
∫
1
a
2
−
x
2
d x = arcsin
x
a
+ C = − arccos
x
a
+ C (a > 0)
(19)
Более сложные интегралы
Данные формулы тоже желательно запомнить. Они также используются достаточно часто, а их вывод довольно утомителен.
∫
1
x
2
+
a
2
d x = ln |
x +
x
2
+
a
2
| + C
(20)
∫
1
x
2
−
a
2
d x = ln |
x +
x
2
−
a
2
| + C
(21)
∫
a
2
−
x
2
d x =
x
2
a
2
−
x
2
+
a
2
2
arcsin
x
a
+ C (a > 0)
(22)
∫
x
2
+
a
2
d x =
x
2
x
2
+
a
2
+
a
2
2
ln |
x +
x
2
+
a
2
| + C (a > 0)
(23)
∫
x
2
−
a
2
d x =
x
2
x
2
−
a
2
−
a
2
2
ln |
x +
x
2
−
a
2
| + C (a > 0)
(24)
Общие правила интегрирования
1) Интеграл от суммы двух функций равен сумме соответствующих интегралов: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)
2) Интеграл от разности двух функций равен разности соответствующих интегралов: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)
3) Константу можно выносить за знак интеграла: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)
Легко заметить, что свойство (26) - это просто комбинация свойств (25) и (27).
4) Интеграл от сложной функции, если внутренняя функция является линейной: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)
Здесь F(x) - первообразная для функции f(x). Обратите внимание: эта формула подходит только для случая, когда внутренняя функция имеет вид Ax + B.
Важно: не существует универсальной формулы для интеграла от произведения двух функций, а также для интеграла от дроби:
∫
f (x) g (x)
d x = ?
∫
f (x)
g (x)
d x = ?
(30)
Это не означает, конечно, что дробь или произведение нельзя проинтегрировать. Просто каждый раз, увидев интеграл типа (30), вам придется изобретать способ "борьбы" с ним. В каких-то случаях вам поможет интегрирование по частям, где-то придется сделать замену переменной, а иногда помощь могут оказать даже "школьные" формулы алгебры или тригонометрии.
Простой пример на вычисление неопределенного интеграла
Пример 1. Найти интеграл: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d xВоспользуемся формулами (25) и (26) (интеграл от суммы или разности функций равен сумме или разности соответствующих интегралов. Получаем: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x
Вспомним, что константу можно выносить за знак интеграла (формула (27)). Выражение преобразуется к виду
3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e x d x + 12 ∫ 1 d x
А теперь просто воспользуемся таблицей основных интегралов. Нам потребуется применить формулы (3), (12), (8) и (1). Проинтегрируем степенную функцию, синус, экспоненту и константу 1. Не забудем добавить в конце произвольную постоянную С:
3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C
После элементарных преобразований получаем окончательный ответ:
X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C
Проверьте себя дифференцированием: возьмите производную от полученной функции и убедитесь, что она равна исходному подинтегральному выражению.
Сводная таблица интегралов
| ∫ A d x = A x + C |
| ∫ x d x = x 2 2 + C |
| ∫ x 2 d x = x 3 3 + C |
| ∫ 1 x d x = 2 x + C |
| ∫ 1 x d x = ln | x | + C |
| ∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C |
| ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) |
| ∫ e x d x = e x + C |
| ∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) |
| ∫ s h x d x = c h x + C |
| ∫ c h x d x = s h x + C |
| ∫ sin x d x = − cos x + C |
| ∫ cos x d x = sin x + C |
| ∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C |
| ∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C |
| ∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C |
| ∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) |
| ∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C |
| ∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) |
| ∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | + C |
| ∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | + C |
| ∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) |
| ∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) |
| ∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) |
Скачайте таблицу интегралов (часть II) по этой ссылке
Если Вы учитесь в ВУЗе, если у Вас возникли сложности с высшей математикой (математический анализ, линейная алгебра, теория вероятностей, статистика), если Вам нужны услуги квалифицированного преподавателя, зайдите на страничку репетитора по высшей математике . Будем решать Ваши проблемы вместе!
Возможно, вас заинтересуют также
На этой странице вы найдёте:
1. Собственно, таблицу первообразных — её можно скачать в формате PDF и распечатать;
2. Видео, посвящённое тому, как этой таблицей пользоваться;
3. Кучу примеров вычисления первообразной из различных учебников и контрольных работ.
В самом видео мы разберём множество задач, где требуется посчитать первообразные функций, зачастую довольно сложных, но главное — не являющихся степенными. Все функции, сведённые в таблицу, предложенную выше, необходимо знать наизусть, подобно производным. Без них невозможно дальнейшее изучение интегралов и их применение для решения практических задач.
Сегодня мы продолжаем заниматься первообразными и переходим у чуть более сложной теме. Если в прошлый раз мы рассматривали первообразные только от степенных функций и чуть более сложных конструкций, то сегодня мы разберем тригонометрию и многое другое.
Как я говорил на прошлом занятии, первообразные в отличие от производных, никогда не решаются «напролом» с помощью каких-либо стандартных правил. Более того, плохая новость состоит в том, что в отличие от производной, первообразная вообще может не считаться. Если мы напишем совершенно случайную функцию и попытаемся найти ее производную, то это с очень большой вероятностью у нас получится, а вот первообразная практически никогда в этом случае не посчитается. Но есть и хорошая новость: существует довольно обширный класс функций, называемых элементарными, первообразные от которых очень легко считаются. А все прочие более сложные конструкции, которые дают на всевозможных контрольных, самостоятельных и экзаменах, на самом деле, составляются из этих элементарных функций путем сложения, вычитания и других несложных действий. Первообразные таких функций давно посчитаны и сведены в специальные таблицы. Именно с такими функциями и таблицами мы будем сегодня работать.
Но начнем мы, как всегда, с повторения: вспомним, что такое первообразная, почему их бесконечно много и как определить их общий вид. Для этого я подобрал две простенькие задачки.
Решение легких примеров
Пример № 1
Сразу заметим, что $\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}$ и вообще наличие $\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }$ сразу намекает нам, что искомая первообразная функции связана с тригонометрией. И, действительно, если мы посмотрим в таблицу, то обнаружим, что $\frac{1}{1+{{x}^{2}}}$ — не что иное как $\text{arctg}x$. Так и запишем:
Для того чтобы найти, необходимо записать следующее:
\[\frac{\pi }{6}=\text{arctg}\sqrt{3}+C\]
\[\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}+C\]
Пример № 2
Здесь также речь идет о тригонометрических функциях. Если мы посмотрим в таблицу, то, действительно, так и получится:
Нам нужно среди всего множества первообразных найти ту, которая проходит через указанную точку:
\[\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }=\arcsin \frac{1}{2}+C\]
\[\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}+C\]
Давайте окончательно запишем:
Вот так все просто. Единственная проблема состоит в том, для того чтобы считать первообразные простых функций, нужно выучить таблицу первообразных. Однако после изучения таблицы производных для вас, я думаю, это не будет проблемой.
Решение задач, содержащих показательную функцию
Для начала запишем такие формулы:
\[{{e}^{x}}\to {{e}^{x}}\]
\[{{a}^{x}}\to \frac{{{a}^{x}}}{\ln a}\]
Давайте посмотрим, как это все работает на практике.
Пример № 1
Если мы посмотрим на содержимое скобок, то заметим, что в таблице первообразных нет такого выражения, чтобы ${{e}^{x}}$ стояло в квадрате, поэтому этот квадрат необходимо раскрыть. Для этого воспользуемся формулами сокращенного умножения:
Давайте найдем первообразную для каждого из слагаемых:
\[{{e}^{2x}}={{\left({{e}^{2}} \right)}^{x}}\to \frac{{{\left({{e}^{2}} \right)}^{x}}}{\ln {{e}^{2}}}=\frac{{{e}^{2x}}}{2}\]
\[{{e}^{-2x}}={{\left({{e}^{-2}} \right)}^{x}}\to \frac{{{\left({{e}^{-2}} \right)}^{x}}}{\ln {{e}^{-2}}}=\frac{1}{-2{{e}^{2x}}}\]
А теперь соберем все слагаемые в единое выражение и получим общую первообразную:
Пример № 2
На этот раз степень уже побольше, поэтому формула сокращенного умножения будет довольно сложной. Итак раскроем скобки:
Теперь от этой конструкции попробуем взять первообразную от нашей формулы:
Как видите, в первообразных показательной функции нет ничего сложного и сверхъестественного. Все один считаются через таблицы, однако внимательные ученики наверняка заметят, что первообразная ${{e}^{2x}}$ намного ближе просто к ${{e}^{x}}$ нежели к ${{a}^{x}}$. Так, может быть, существует какой-то более специальное правило, позволяющее, зная первообразную ${{e}^{x}}$, найти ${{e}^{2x}}$? Да, такое правило существует. И, более того, оно является неотъемлемой частью работы с таблицей первообразных. Его мы сейчас разберем на примере тех же самых выражений, с которыми мы только что работали.
Правила работы с таблицей первообразных
Еще раз выпишем нашу функцию:
В предыдущем случае мы использовали для решения следующую формулу:
\[{{a}^{x}}\to \frac{{{a}^{x}}}{\operatorname{lna}}\]
Но сейчас поступим несколько иначе: вспомним, на каком сновании ${{e}^{x}}\to {{e}^{x}}$. Как уже и говорил, потому что производная ${{e}^{x}}$ — это не что иное как ${{e}^{x}}$, поэтому ее первообразная будет равна тому же самому ${{e}^{x}}$. Но проблема в том, что у нас ${{e}^{2x}}$ и ${{e}^{-2x}}$. Сейчас попытаемся найти производную ${{e}^{2x}}$:
\[{{\left({{e}^{2x}} \right)}^{\prime }}={{e}^{2x}}\cdot {{\left(2x \right)}^{\prime }}=2\cdot {{e}^{2x}}\]
Давайте еще раз перепишем нашу конструкцию:
\[{{\left({{e}^{2x}} \right)}^{\prime }}=2\cdot {{e}^{2x}}\]
\[{{e}^{2x}}={{\left(\frac{{{e}^{2x}}}{2} \right)}^{\prime }}\]
А это значит, что при нахождении первообразной ${{e}^{2x}}$ мы получим следующее:
\[{{e}^{2x}}\to \frac{{{e}^{2x}}}{2}\]
Как видите, мы получили тот же результат, что и ранее, однако не воспользовались формулой для нахождения ${{a}^{x}}$. Сейчас это может показаться глупостью: зачем усложнять вычисления, когда есть стандартная формула? Однако в чуть более сложных выражениях вы убедитесь, что этот прием очень эффективен, т.е. использование производных для нахождения первообразных.
Давайте в качестве разминки аналогичным способом найдем первообразную от ${{e}^{2x}}$:
\[{{\left({{e}^{-2x}} \right)}^{\prime }}={{e}^{-2x}}\cdot \left(-2 \right)\]
\[{{e}^{-2x}}={{\left(\frac{{{e}^{-2x}}}{-2} \right)}^{\prime }}\]
При вычислении наша конструкция запишется следующим образом:
\[{{e}^{-2x}}\to -\frac{{{e}^{-2x}}}{2}\]
\[{{e}^{-2x}}\to -\frac{1}{2\cdot {{e}^{2x}}}\]
Мы получили точно тот же результат, но пошли при этом по другому пути. Именно этот путь, который сейчас кажется нам чуть более сложным, в дальнейшем окажется более эффективным для вычисления более сложных первообразных и использование таблиц.
Обратите внимание! Это очень важный момент: первообразные как и производные можно посчитать множеством различных способов. Однако если все вычисления и выкладки будут равны, то ответ получится одним и тем же. Мы убедились в этом только что на примере ${{e}^{-2x}}$ — с одной стороны мы посчитали эту первообразную «напролом», воспользовавшись определением и посчитав ее с помощью преобразований, с другой стороны, мы вспомнили, что ${{e}^{-2x}}$ может быть представлено как ${{\left({{e}^{-2}} \right)}^{x}}$ и уже потом воспользовались первообразной для функции ${{a}^{x}}$. Тем не менее, после всех преобразований результат получился одним и тем же, как и предполагалось.
А теперь, когда мы все это поняли, пора перейти к чему-то более существенному. Сейчас мы разберем две простенькие конструкций, однако прием, который будет заложен при их решении, является более мощным и полезным инструментом, нежели простое «беганье» между соседними первообразными из таблицы.
Решение задач: находим первообразную функции
Пример № 1
Давайте сумму, которая стоит в числители, разложи на три отдельных дроби:
Это довольно естественный и понятный переход — у большинства учеников проблем с ним не возникает. Перепишем наше выражение следующим образом:
А теперь вспомним такую формулу:
В нашем случае мы получим следующее:
Чтобы избавиться от всех этих трехэтажных дробей, предлагаю поступить следующим образом:
Пример № 2
В отличие от предыдущей дроби в знаменателе стоит не произведение, а сумма. В этом случае мы уже не можем разделить нашу дробь на сумму нескольких простых дробей, а нужно каким-то образом постараться сделать так, чтобы в числителе стояло примерно такое же выражение как в знаменателе. В данном случае сделать это довольно просто:
Такая запись, которая на языке математики называется «добавление нуля», позволит нам вновь разделить дробь на два кусочка:
Теперь найдем то, что искали:
Вот и все вычисления. Несмотря на кажущуюся большую сложность, чем в предыдущей задаче, объем вычислений получился даже меньшим.
Нюансы решения
И вот в этом кроется основная сложность работы с табличными первообразными, особенно это заметно на второй задаче. Дело в том, что для того чтобы выделить какие-то элементы, которые легко считаются через таблицу, нам нужно знать, что конкретно мы ищем, и именно в поиске этих элементов и состоит все вычисление первообразных.
Другими словами, недостаточно просто зазубрить таблицу первообразных — нужно уметь видеть что-то, чего пока еще нет, но что подразумевал автор и составитель этой задачи. Именно поэтому многие математики, учителя и профессора постоянно спорят: «А что такое взятие первообразных или интегрирование — это просто инструмент либо это настоящее искусство?» На самом деле, лично на мой взгляд, интегрирование — это никакое не искусство — в нем нет ничего возвышенного, это просто практика и еще раз практика. И чтобы попрактиковаться, давайте решим еще три более серьезных примера.
Тренируемся в интегрировании на практике
Задача № 1
Запишем такие формулы:
\[{{x}^{n}}\to \frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}\]
\[\frac{1}{x}\to \ln x\]
\[\frac{1}{1+{{x}^{2}}}\to \text{arctg}x\]
Давайте запишем следующее:
Задача № 2
Перепишем следующим образом:
Итого первообразная будет равна:
Задача № 3
Сложность этой задачи состоит в том, что в отличие от предыдущих функций сверху вообще отсутствует какая-либо переменная $x$, т.е. нам непонятно, что добавлять, вычитать, чтобы получить хоть что-то похожее на то, что стоит снизу. Однако, на самом деле, это выражение считается даже проще, чем любое выражение из предыдущих конструкций, потому что данную функцию можно переписать следующим образом:
Возможно, вы сейчас спросите: а почему эти функции равны? Давайте проверим:
Еще перепишем:
Немного преобразуем наше выражение:
И когда я все это объясняю своим ученикам, практически всегда возникает одна и та же проблема: с первой функцией все более-менее понятно, со второй тоже при везении или практике можно разобраться, но каким альтернативным сознанием нужно обладать, чтобы решить третий пример? На самом деле, не пугайтесь. Тот прием, который мы использовали при вычислении последней первообразной, называется «разложение функции на простейшие», и это очень серьезный прием, и ему будет посвящен отдельный видеоурок.
А пока предлагаю вернуться к тому, что мы только что изучили, а именно, к показательным функциям и несколько усложнить задачи с их содержанием.
Более сложные задачи на решение первообразных показательных функций
Задача № 1
Заметим следующее:
\[{{2}^{x}}\cdot {{5}^{x}}={{\left(2\cdot 5 \right)}^{x}}={{10}^{x}}\]
Чтобы найти первообразной этого выражения, достаточно просто воспользоваться стандартной формулой — ${{a}^{x}}\to \frac{{{a}^{x}}}{\ln a}$.
В нашем случае первообразная будет такая:
Разумеется, на фоне той конструкции, которую мы решали только что, эта выглядит более простой.
Задача № 2
Опять же, несложно заметить, что эту функцию несложно разделить на два отдельных слагаемых — две отдельных дроби. Перепишем:
Осталось найти первообразную от каждого от этих слагаемых по вышеописанной формуле:
Несмотря на кажущуюся большую сложность показательных функций по сравнению со степенными, общий объем вычислений и выкладок получился гораздо проще.
Конечно, для знающих учеников то, что мы только что разобрали (особенно на фоне того, что мы разобрали до этого), может показаться элементарными выражениями. Однако выбирая именно две эти задачи для сегодняшнего видеоурока, я не ставил себе цель рассказать вам еще один сложный и навороченный прием — все, что я хотел вам показать, так это то, что не стоит бояться использовать стандартные приемы алгебры для преобразования исходных функций.
Использование «секретного» приема
В заключение хотелось бы разобрать еще один интересный прием, который, с одной стороны выходит за рамки того, что мы сегодня в основном разбирали, но, с другой стороны, он, во-первых, отнюдь не сложный, т.е. его могут освоить даже начинающие ученики, а, во-вторых, он довольно часто встречается на всевозможных контрольных и самостоятельных работах, т.е. знание его будет очень полезно в дополнение к знанию таблицы первообразных.
Задача № 1
Очевидно, что перед нами что-то очень похожее на степенную функцию. Как нам поступить в этом случае? Давайте задумаемся: $x-5$ отличается от $x$ не так уж и сильно — просто добавили $-5$. Запишем так:
\[{{x}^{4}}\to \frac{{{x}^{5}}}{5}\]
\[{{\left(\frac{{{x}^{5}}}{5} \right)}^{\prime }}=\frac{5\cdot {{x}^{4}}}{5}={{x}^{4}}\]
Давайте попробуем найти производную от ${{\left(x-5 \right)}^{5}}$:
\[{{\left({{\left(x-5 \right)}^{5}} \right)}^{\prime }}=5\cdot {{\left(x-5 \right)}^{4}}\cdot {{\left(x-5 \right)}^{\prime }}=5\cdot {{\left(x-5 \right)}^{4}}\]
Отсюда следует:
\[{{\left(x-5 \right)}^{4}}={{\left(\frac{{{\left(x-5 \right)}^{5}}}{5} \right)}^{\prime }}\]
В таблице нет такого значения, поэтому мы сейчас сами вывели эту формулу, используя стандартную формулу первообразной для степенной функции. Давайте так и запишем ответ:
Задача № 2
Многим ученикам, которые посмотрят на первое решение, может показаться, что все очень просто: достаточно заменить в степенной функции $x$ на линейное выражение, и все станет на свои места. К сожалению, все не так просто, и сейчас мы в этом убедимся.
По аналогии с первым выражением запишем следующее:
\[{{x}^{9}}\to \frac{{{x}^{10}}}{10}\]
\[{{\left({{\left(4-3x \right)}^{10}} \right)}^{\prime }}=10\cdot {{\left(4-3x \right)}^{9}}\cdot {{\left(4-3x \right)}^{\prime }}=\]
\[=10\cdot {{\left(4-3x \right)}^{9}}\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot {{\left(4-3x \right)}^{9}}\]
Возвращаясь к нашей производной, мы можем записать:
\[{{\left({{\left(4-3x \right)}^{10}} \right)}^{\prime }}=-30\cdot {{\left(4-3x \right)}^{9}}\]
\[{{\left(4-3x \right)}^{9}}={{\left(\frac{{{\left(4-3x \right)}^{10}}}{-30} \right)}^{\prime }}\]
Отсюда сразу следует:
Нюансы решения
Обратите внимание: если в прошлый раз по сути ничего не поменялось, то во втором случае вместо $-10$ появилось $-30$. На что отличается $-10$ и $-30$? Очевидно, что на множитель $-3$. Вопрос: откуда он взялся? Присмотревшись можно увидеть, что она взялась в результате вычислений производной сложной функции — тот коэффициент, который стоял при $x$, появляется в первообразной внизу. Это очень важное правило, которое я изначально вообще не планировал разбирать в сегодняшнем видеоуроке, но без него изложение табличных первообразных было бы неполным.
Итак, давайте еще раз. Пусть есть наша основная степенная функция:
\[{{x}^{n}}\to \frac{{{x}^{n+1}}}{n+1}\]
А теперь вместо $x$ давайте подставим выражение $kx+b$. Что тогда произойдет? Нам нужно найти следующее:
\[{{\left(kx+b \right)}^{n}}\to \frac{{{\left(kx+b \right)}^{n+1}}}{\left(n+1 \right)\cdot k}\]
На каком основании мы это утверждаем? Очень просто. Давайте найдем производную написанной выше конструкции:
\[{{\left(\frac{{{\left(kx+b \right)}^{n+1}}}{\left(n+1 \right)\cdot k} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{\left(n+1 \right)\cdot k}\cdot \left(n+1 \right)\cdot {{\left(kx+b \right)}^{n}}\cdot k={{\left(kx+b \right)}^{n}}\]
Это то самое выражение, которое изначально и было. Таким образом, эта формула тоже верна, и ею можно дополнить таблицу первообразных, а лучше просто запомнить всю таблицу.
Выводы из «секретного: приема:
- Обе функции, которые мы только что рассмотрели, на самом деле, могут быть сведены к первообразным, указанным в таблице, путем раскрытия степеней, но если с четвертой степенью мы еще более-менее как-то справимся, то вот девятую степень я бы вообще не рискнул раскрывать.
- Если бы мы раскрыли степени, то мы бы получили такой объем вычислений, что простая задача заняла бы у нас неадекватно большое количество времени.
- Именно поэтому такие задачи, внутри которых стоят линейные выражения, не нужно решать «напролом». Как только вы встречаете первообразную, которая отличается от той, что в таблице, лишь наличием выражения $kx+b$ внутри, сразу вспоминайте написанную выше формулу, подставляйте ее в вашу табличную первообразную, и все у вас получится намного быстрее и проще.
Естественно, в силу сложности и серьезности этого приема мы еще неоднократно вернемся к его рассмотрению в будущих видеоуроках, но на сегодня у меня все. Надеюсь, этот урок действительно поможет тем ученикам, которые хотят разобраться в первообразных и в интегрировании.
Показано, что интеграл от произведения степенных функций от sin x и cos x можно привести к интегралу от дифференциального бинома. При целых значениях показателей степени, такие интегралы легко вычисляются по частям или с помощью формул приведения. Дан вывод формул приведения. Приводится пример вычисления такого интеграла.
СодержаниеСм. также:
Таблица неопределенных интегралов
Приведение к интегралу от дифференциального бинома
Рассмотрим интегралы вида:
Такие интегралы сводятся к интегралу от дифференциального бинома одной из подстановок t = sin x или t = cos x .
Продемонстрируем это, выполнив подстановку
t = sin
x
.
Тогда
dt = (sin
x)′
dx = cos
x dx
;
cos 2
x = 1 - sin 2
x = 1 -
t 2
;
Если m
и n
- рациональные числа, то следует применять методы интегрирования дифференциального бинома.
Интегрирование с целыми m и n
Далее, рассмотрим случай, когда m
и n
- целые числа (не обязательно положительные). В этом случае, подынтегральное выражение является рациональной функцией от sin
x
и cos
x
.
Поэтому можно применить правила, представленные в разделе «Интегрирование тригонометрических рациональных функций ».
Однако, учитывая специфические особенности, проще воспользоваться формулами приведения, которые легко получаются интегрированием по частям.
Формулы приведения
Формулы приведения для интеграла
имеют вид:
;
;
;
.
Их нет необходимости запоминать, поскольку они легко получаются интегрированием по частям.
Доказательство формул приведения
Интегрируем по частям.
Умножая на m + n
,
получаем первую формулу:
Аналогично получаем вторую формулу.
Интегрируем по частям.
Умножая на m + n
,
получаем вторую формулу:
Третья формула.
Интегрируем по частям.
Умножая на n + 1
,
получаем третью формулу:
Аналогично, для четвертой формулы.
Интегрируем по частям.
Умножая на m + 1
,
получаем четвертую формулу:
Пример
Вычислим интеграл:
Преобразуем:
Здесь m = 10,
n = - 4
.
Применяем формулу приведения:
При m = 10,
n = - 4
:
При m = 8,
n = - 2
:
Применяем формулу приведения:
При m = 6,
n = - 0
:
При m = 4,
n = - 0
:
При m = 2,
n = - 0
:
Вычисляем оставшийся интеграл:
Собираем промежуточные результаты в одну формулу.
Использованная литература:
Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
