Глава 7
Анализ нелинейных систем
СУ состоит из отдельных функциональных элементов, для математического описания которых используются типовые элементарные звенья (см. разд. 1.4). Среди типовых элементарных звеньев имеется одно безынерционное (усилительное) звено. Статическая характеристика такого звена, связывающая входную x и выходную y величины, линейна: y =Kx . Реальные функциональные элементы СУ имеют нелинейную статическую характеристику y =f (x ). Вид нелинейной зависимости f (∙) может быть разнообразным:
Функции с переменной крутизной (функции с эффектом «насыщения», тригонометрические функции и др.);
Кусочно-линейные функции;
Релейные функции.
Чаще всего приходиться учитывать нелинейность статической характеристики чувствительного элемента СУ, т.е. нелинейность дискриминационной характеристики. Обычно стремятся обеспечить работу СУ на линейном участке дискриминационной характеристики (если это позволяет вид функции f (∙)) и используют линейную модель y =Kx . Иногда это не удается обеспечить из-за больших значений динамической и флюктуационной составляющих ошибки СУ, либо из-за, так называемой, существенной нелинейности функции f (∙), присущей, например, релейным функциям. Тогда приходится выполнять анализ СУ с учетом звеньев, имеющих нелинейную статическую характеристику, т.е. проводить анализ нелинейной системы.
7.1. Особенности нелинейных систем
Процессы в нелинейных системах значительно разнообразнее процессов в линейных системах. Отметим некоторые особенности нелинейных систем и процессов в них.
1. Не выполняется принцип суперпозиции: реакция нелинейной системы не равна сумме реакций на отдельные воздействия. Например, независимый расчет динамической и флюктуационной составляющих ошибки слежения, выполненный для линейных систем (см. разд. 3), для нелинейных систем невозможен.
2. К структурной схеме нелинейной системы неприменимо свойство коммутативности (нельзя переставлять местами линейные и нелинейные звенья).
3. В нелинейных системах изменяются условия устойчивости и само понятие устойчивости. Поведение нелинейных систем, с точки зрения их устойчивости, зависит от воздействия и начальных условий. Кроме того, в нелинейной системе возможен новый вид установившегося процесса – автоколебания с постоянными амплитудой и частотой. Такие автоколебания, в зависимости от их амплитуды и частоты, могут и не нарушать работоспособность нелинейной СУ. Поэтому нелинейные системы уже не делятся на два класса (устойчивые и неустойчивые), как линейные системы, а разбиваются на большее количество классов.
Для нелинейных систем русский математик А.М. Ляпунов в 1892 г. ввел понятия устойчивости «в малом» и «в большом»: система устойчива «в малом», если при некотором (достаточно малом) отклонении от точки устойчивого равновесия она остается в заданной (ограниченной) области ε, и система устойчива «в большом», если она остается в области ε при любом отклонении от точки устойчивого равновесия. Заметим, что область ε можно задать сколь угодно малой вблизи точки устойчивого равновесия, поэтому данное в разд. 2 определение устойчивости линейных систем остается в силе и равноценно определению асимптотической устойчивости по Ляпунову. При этом рассмотренные ранее критерии устойчивости линейных систем для реальных нелинейных систем следует воспринимать как критерии устойчивости «в малом».
4. В нелинейных системах качественно меняются переходные процессы. Например, в случае функции f (∙) с переменной крутизной в нелинейной системе 1-го порядка переходный процесс описывается экспонентой с изменяющимся параметром T .
5. Ограниченная апертура дискриминационной характеристики нелинейной системы является причиной возникновения срыва слежения (система устойчива «в малом»). При этом необходим поиск сигнала и ввод системы в режим слежения (понятие поисково-следящего измерителя дано в разд. 1.1). В системах синхронизации с периодической дискриминационной характеристикой возможны скачки выходной величины.
Наличие рассмотренных особенностей нелинейных систем приводит к необходимости использования специальных методов для анализа таких систем. Далее рассматриваются:
Метод, основанный на решении нелинейного дифференциального уравнения и позволяющий, в частности, определить ошибку в установившемся режиме, а также полосы захвата и удержания нелинейной системы ФАПЧ;
Методы гармонической и статистической линеаризации, удобные при анализе систем с существенно нелинейным элементом;
Методы анализа и оптимизации нелинейных систем, основанные на результатах теории марковских процессов.
7.2. Анализ регулярных процессов в нелинейной системе ФАПЧ
- Метод гармонической линеаризации в проектировании нелинейных систем автоматического управления.
[Djv-10.7M ] Под редакцией Ю.И. Топчеева. Коллектив авторов.
(Москва: Издательство «Машиностроение», 1970. - Серия «Нелинейные системы автоматического управления»)
Скан: AAW, обработка, формат Djv: Ilya Sytnikov, 2014 - КРАТКОЕ ОГЛАВЛЕНИЕ:
Предисловие (5).
Глава I. Теоретические основы метода гармонической линеаризации (Е.П. Попов) (13).
Глава II. Новая форма гармонической линеаризации для систем управления с нелинейными гистерезисными характеристиками (Е.И. Хлыпало) (58).
Глава III. Метод гармонической линеаризации, базирующийся на оценке чувствительности периодического решения к высшим гармоникам и малым параметрам (А.А. Вавилов) (88).
Глава IV. Определение амплитудных и фазовых частотных характеристик нелинейных систем (Ю.И. Топчеев) (117).
Глава V. Приближенные частотные методы анализа качества нелинейных систем управления (Ю.И. Топчеев) (171).
Глава VI. Повышение точности метода гармонической линеаризации (В.В. Павлов) (186).
Глава VII. Применение метода гармонической линеаризации к дискретным нелинейным системам управления (С.М. Федоров) (219).
Глава VIII. Применение асимптотического метода Н.М. Крылова и Н.Н. Боголюбова при анализе нелинейных систем управления (А.Д. Максимов) (236).
Глава IX. Применение гармонической линеаризации к нелинейным самонастраивающимся системам управления (Ю.М. Козлов, С.И. Марков) (276).
Глава X. Применение метода гармонической линеаризации к нелинейным автоматическим системам с конечными автоматами (М.В. Старикова) (306).
Глава XI. Приближенный метод исследования колебательных процессов и скользящих режимов в автоматических системах с переменной структурой (М.В. Старикова) (390).
Глава XII. Приближенное исследование импульсно-релейной системы управления (М.В. Старикова) (419).
Глава XIII. Определение колебательных процессов в сложных нелинейных системах при различных начальных отклонениях (М.В. Старикова) (419).
Глава XIV. Применение метода гармонической линеаризации к системам с периодическими нелинейностями (Л.И. Семенко) (444).
Глава XV. Применение метода гармонической линеаризации к системам с двумя нелинейностями (В.М. Хлямов) (467).
Глава XVI. Амплитудно-фазовые характеристики релейных механизмов с двигателями постоянного и переменного тока, полученные по методу гармонической линеаризации (В.В. Цветков) (485).
Приложения (518).
Литература (550).
Алфавитный указатель (565).
Аннотация издательства:
Данная книга входит в состав серии монографий, посвященных нелинейным системам автоматического управления.
В ней систематически, в достаточно полном объеме, изложена теория нелинейных систем автоматического управления, базирующаяся на методе гармонической линеаризации. Главное внимание уделено теоретическим основам метода гармонической линеаризации и его практическим применениям к непрерывным, дискретным, самонастраивающимся системам, а также системам с конечными автоматами и перестраиваемой структурой. Рассмотрены способы повышения точности метода гармонической линеаризации путем учета влияния высших гармоник. Предлагаемые способы иллюстрируются многочисленными примерами.
Книга предназначена для научных работников, инженеров, преподавателей и аспирантов высших учебных заведений, занимающихся вопросами автоматического управления.
Общим методом исследования устойчивости нелинейных систем является прямой метод Ляпунова. В его основе лежит теорема Ляпунова об устойчивости нелинейных систем. В качестве аппарата исследования используется так называемая функция Ляпунова, представляющая собой знако-определенную функцию координат системы, имеющую также знако-определенную производную по времени. Применение этого метода ограничивается его сложностью.
Более простым методом расчета устойчивости нелинейных систем является метод, разработанный румынским ученым В. М. Поповым. Однако он пригоден для некоторых частных случаев.
Процессы в нелинейной системе могут быть исследованы на основе кусочно-линейной аппроксимации. В этом случае нелинейные характеристики отдельных звеньев разбивают на ряд линейных участков, в пределах которых задача оказывается линейной и может быть решена достаточно просто. На границах участков необходимо произвести «сшивание» отдельных кусков процесса в единый процесс. Метод может применяться, если число участков, на которые разбивается нелинейная характеристика, невелико. Это имеет, например, место для релейных характеристик (см. рис. 5.1). При большом числе участков метод оказывается слишком громоздким. Однако использование ЭВМ позволяет преодолеть эту трудность и с успехом рассчитывать процессы в нелинейных системах при любых нелинейных характеристиках и вообще при наличии нелинейных зависимостей произвольного вида.
Метод фазового пространства в принципе позволяет исследовать системы с нелинейностями произвольного вида, а также с несколькими иелинейностями. При этом в фазовом пространстве строят так называемый фазовый портрет процессов, протекающих (в нелинейной системе. По виду фазового портрета можно судить об устойчивости, возможности возникновения автоколебаний, точности в установившемся режиме. Однако размерность фазового пространства равка порядку дифференциального уравнения нелинейной системы. Это затрудняет использование метода для исследования систем, описываемых дифференциальным уравнением выше второго порядка. В случае дифференциального уравнения второго порядка фазовое пространство представляет собой фазовую плоскость, и этот метод может быть с успехом применен .
Для анализа случайных процессов в нелинейных автоматических системах можно применять математический аппарат теории марковских случайных процессов. Однако сложность метода и возможность
решения уравнения Фоккера - Планка, которое требуется при анализе, только для уравнений первого и в некоторых случаях второго порядка, ограничивает его использование .
Все перечисленные методы относятся к числу точных. Их сложность и ограниченность применения привели к разработке приближенных, но более простых методов исследования нелинейных систем. Приближенные методы позволяют во многих случаях достаточно просто получить прозрачные и легко обозримые результаты анализа нелинейных систем .
Модуль эквивалентной передаточной функции нелинейного звена определяется формулой:
и равен отношению амплитуды первой гармоники на его выходе к амплитуде входной величены. Аргумент частотной передаточной функции нелинейного звена равен:
Можно показать, что для нелинейных звеньев с однозначными и симметричными относительно начала координат характеристиками, не имеющими гистерезистых петель, поэтому - чисто вещественная, а
Часто используется величина, обратная эквивалентной передаточной функции нелинейного звена:
называемая эквивалентным импедансом нелинейного звена. Использование её удобно при расчёте автоколебаний по критерию Найквиста. В качестве примера использования метода гармонической линеаризации рассмотрим релейную характеристику трехпозиционного реле без петли гистерезиса (рис. 7.3). Как видно из рис. 7.3, статическая характеристика симметрична относительно начала координат, следовательно, . Поэтому необходимо найти только коэффициент по формуле (7.4). Для этого подадим на вход звена синусоидальную функцию и построим y(t) (рис. 7.4).
Рис. 7.3. Статическая характеристика трехпозиционного
реле без петли гистерезиса
Как видно из рис. 7.4, при при
Фазовый угол , соответствующий x 1 = b, равен arcsin (b/a) (рис. 7.4).
Учитывая симметрию подынтегральной функции и в соответствии с (7.4), имеем:
Т.к. , то окончательно имеем:
Аналогичным образом можно произвести гармоническую линеаризацию других нелинейных звеньев. Результаты линеаризации приведены в , .
Как отмечалось выше, метод гармонической линеаризации удобен для анализа возможности появления в нелинейной системе режима автоколебаний и определения его параметров. Для расчёта автоколебаний используют различные критерии устойчивости. Наиболее просто и наглядно использование критерия Найквиста. Особенно удобно использование критерия Найквиста в случае, когда имеется нелинейная зависимость вида и эквивалентная передаточная функция нелинейного звена зависит только от амплитуды входного сигнала .
Рис. 7.4. Пример линеаризации релейной характеристики
Условия возникновения автоколебаний: появление в решении (7.7) пары чисто мнимых корней, а все остальные корни лежат в левой полуплоскости (связь с точкой –1,j0).
Приравняем (7.7) к минус единице:
Для решения (7.12) задаёмся различными значениями , строим АФХ. При некотором а = А АФХ пройдёт через точку (-1,j0), что соответствует отсутствию запасов устойчивости.
Частота и соответствуют частоте и амплитуде искомого гармонического колебания: (рис. 7.5).
Подобным образом можно отыскать периодическое решение для нелинейных зависимостей любого вида, приводящих, в частности, к тому, что эквивалентная передаточная функция нелинейного элемента зависит не только от амплитуды, но и от частоты. Если же ограничиться рассмотрением нелинейной зависимости вида , то процесс нахождения периодического режима можно упростить.
Рис. 7.5. Условие возникновения автоколебаний
Запишем уравнение (7.12) в виде:
См. (7.11). (7.13)
Уравнение (7.13) просто решается графически. Для этой цели необходимо отдельно построить АФХ и обратную АФХ взятую с обратным знаком. Точка пересечения двух АФХ определяет решение (7.13). Частоту периодического режима находим по отметкам частоты на графике , а амплитуду - по отметкам амплитуды на графике (рис. 7.6).
Однако найденный периодический режим соответствует автоколебаниям только тогда, когда он будет устойчив в том смысле, что этот режим может существовать в системе неограниченно длительное время. Устойчивость периодического режима можно определить следующим образом.
Предположим, что линейная часть системы в разомкнутом состоянии устойчива или нейтральна. Дадим амплитуде А некоторое положительное приращение А. Тогда возрастёт, следовательно, уменьшится. В результате уменьшается, следовательно, ещё больше удаляется от точки (-1,j0). А уменьшается и будет стремиться к 0. Аналогично, если А получило отрицательное приращение - А. Тогда уменьшится, следовательно, возрастёт, возрастёт, а, следовательно, амплитуда увеличится, т.к. АФХ приблизится к точке (-1,j0) (уменьшение запасов устойчивости).
Рис. 7.6. Условие возникновения автоколебаний при нелинейной
зависимости вида
Следовательно, всякое случайное отклонение А так изменяет систему, что амплитуда восстанавливает своё значение. Это соответствует устойчивости периодического режима, который соответствует автоколебаниям.
Критерий устойчивости периодического режима здесь сводится к тому, чтобы часть кривой , соответствующая меньшим амплитудам, охватывалась АФХ линейной части системы, что соответствует наличию одной точки пересечения характеристики с отрицательной частью оси вещественных значений (см. рис. 7.6).
При пересечении АФХ разомкнутой системы отрицательной части оси вещественных значений два раза возможно прохождение АФХ через точку (-1,j0) при двух значениях и (рис. 7.7).
Две точки пересечения соответствуют двум возможным периодическим решениям с параметрами и . Аналогично тому, как делалось выше, можно убедиться, что первая точка соответствует неустойчивому режиму периодических колебаний, а вторая – устойчивому, т.е. автоколебаниям (рис. 7.8).
В более сложных случаях, когда, допустим, неустойчива, можно определить устойчивость получаемого периодического режима, рассматривая расположение АФХ разомкнутой системы. Общим здесь остаётся то положение, что для получения устойчивости периодического режима необходимо, чтобы положительное приращение амплитуды приводило к сходящимся процессам в системе, а отрицательное – к расходящимся.
При отсутствии в системе возможных периодических режимов, близких к гармоническим, что обнаруживается изложенным расчётом, существует много различных вариантов поведения системы. Однако в системах, линейная часть которых обладает свойством подавления высших гармоник, особенно в таких системах, где при одних параметрах имеется периодическое решение , а при других нет, есть основание полагать, что при отсутствии периодического решения система будет устойчива относительно равновесного состояния. В этом случае устойчивость равновесного состояния можно оценить требованием, чтобы при устойчивой или нейтральной в разомкнутом состоянии линейной части её АФХ не охватывала годографа
Метод статистической линеаризации нелинейных характеристик
Для оценки статистических характеристик нелинейных систем можно использовать метод статистической линеаризации, основанный на замене нелинейной характеристики линейной, которая в известном смысле статистики равноценна исходной нелинейной характеристике.
Замена нелинейного преобразования линейным является приближённой и может быть справедливой лишь в некоторых отношениях. Поэтому понятие статистической эквивалентности, на основе которого производится такая замена, не является однозначным, и можно сформулировать различные критерии статистической эквивалентности нелинейного и заменяющего его линейного преобразований.
В случае когда линеаризации подвергается нелинейная безынерционная зависимость вида (7.2) , обычно применяются следующие критерии статистической эквивалентности :
Первый требует равенства математических ожиданий и дисперсий процессов и , где - выходная величина эквивалентного линеаризованного звена, а - выходная величина нелинейного звена;
Второй требует минимизации среднего квадрата разности процессов на выходе нелинейного и линеаризованного элементов.
Рассмотрим линеаризацию для случая применения первого критерия. Заменим нелинейную зависимость (7.2) линейной характеристикой (7.14), которая имеет такие же математические ожидания и дисперсию, какие имеются на выходе нелинейного звена с характеристикой (7.2). С этой целью представим (7.14) в виде: , где - центрированная случайная функция.
По выбранному критерию коэффициенты и должны удовлетворять следующим соотношениям:
Из (7.15) следует, что статистическая равноценность имеет место, если
причём знак должен совпадать со знаком производной нелинейной характеристики F(x ).
Величины и называют коэффициентами статистической линеаризации. Для их вычисления нужно знать и сигнала на выходе нелинейного звена:
где - плотность вероятности распределения случайного сигнала на входе нелинейного звена.
Для второго критерия коэффициенты статистической линеаризации выбираются таким образом, чтобы обеспечить минимум среднего квадрата разности процессов на выходе нелинейного и линеаризованного звена, т.е. обеспечить выполнение равенства
Коэффициенты статистической линеаризации, как следует из (7.16), (7.17) и (7.18), зависят не только от характеристик нелинейного звена, но и от закона распределения сигнала на его входе. Во многих практических случаях закон распределения этой случайной величины может быть принят гауссовским (нормальным), описываемым выражением
Это объясняется тем, что нелинейные звенья в системах управления соединяются последовательно с линейными инерционными элементами, законы распределения выходных сигналов которых близки к гауссовским при любых законах распределения их входных сигналов. Чем более инерционна система, тем ближе закон распределения сигнала на выходе к гауссовскому, т.е. инерционные устройства системы приводят к восстановлению гауссовского распределения, нарушаемого нелинейными звеньями. Кроме этого, изменение закона распределения в широких пределах малого влияет на коэффициенты статистической линеаризации. Поэтому полагают, что сигналы на входе нелинейных элементов распределены по гауссовскому закону.
При этом коэффициенты и зависят только от и сигнала на входе нелинейного звена, поэтому для типовых нелинейных характеристик коэффициенты и могут быть заранее вычислены, что существенно упрощает расчёты систем методом статистической линеаризации. Для нормального закона распределения и типовых нелинейных звеньев при расчете нелинейных систем можно воспользоваться данными, приведенными в .
Применение метода статистической линеаризации для анализа
стационарных режимов и срыва слежения
Возможность замены характеристик нелинейных звеньев линейными зависимостями позволяет при анализе нелинейных систем использовать методы, разработанные для линейных систем. Применим метод статистической линеаризации для анализа стационарных режимов в системе, изображённой на рис. 7.9,
где F(e) – статическая характеристика нелинейного элемента (дискриминатора);
W(p) – передаточная функция линейной части системы.
Задача анализа заключается в оценке влияния характеристик дискриминатора на точность системы и определении условий, при которых нарушается нормальная работа системы и происходит срыв слежения.
При анализе точности работы относительно неслучайной составляющей сигнала g(t) нелинейный элемент F(e) в соответствии с методом статистической линеаризации заменяется линейным звеном с коэффициентом передачи . Динамическая ошибка, как было показано ранее, находится по формуле: ,
Пример нахождения и , а также определения условия срыва слежения приведён в .
Вопросы для самопроверки
1. Назовите приближенные методы анализа нелинейных систем.
2. В чем заключается сущность метода гармонической линеаризации?
3. В чем заключается сущность метода статистической линеаризации?
4. Для каких нелинейных звеньев q¢ (a) = 0?
5. Какие критерии статистической эквивалентности вы знаете?
