Внутренние силы возникают между отдельными элементами сооружения и между отдельными частями элемента под действием внешних сил. Определение внутренних сил производят методом сечений. Сущность его заключается в том, что тело, находящееся в равновесии (рис.2.1,а ), рассекают мысленно на две части (рис.2.1,б ), отбрасывают одну из частей, заменяя влияние отброшенной части внутренними силами, и составляют уравнения равновесия для оставшейся части, на которую действуют приложенные к ней внешние силы и подлежащие определению внутренние силы, распределенные по сечению.

Обычно плоскость сечения проводится перпендикулярно касательной к оси бруса. Систему внутренних сил можно привести к одной силе R и к одной паре М .Выберем в качестве центра приведения сил центр тяжести сечения 0 и

направим ось Оx правой прямоугольной системы координат перпендикулярно сечению в сторону внешней нормали. Разложим векторы R и M на составляющие (рис. 2.1,в ). Силу N , направленную по касательной к оси стержня, называют продольной силой. Силы Q y и Q z , направленные по нормали к оси стержня, называют поперечными силами. Момент Т относительно оси х называют крутящим. Моменты М y и M z носят название изгибающих. Эти шесть внутренних усилий могут быть найдены из шести уравнений равновесия тела в пространстве, составленных для рассматриваемой части бруса. Уравнения составляются применительно к недеформированному телу, если наблюдаются малые изменения его размеров и формы. Принятие такого допущения значительно упрощает задачу, уравнения становятся линейными, что позволяет пользоваться принципом независимости действия сил (принципом наложения). Последний гласит, что результат совместного воздействия на тело системы сил равен сумме частных результатов воздействия каждой силы в отдельности.

Каждому из внутренних усилий соответствует свой вид деформирования тела: N − растяжение (сжатие), Q y и Q z − сдвиг, Т − кручение, М у и М z − изгиб. Эти деформации, как правило, возникают в различных сочетаниях. Продольная сила считается положительной, если ее направление совпадает с направлением внешней нормали к сечению. Крутящий момент принимается положительным, если при взгляде в торец отсеченной части бруса со стороны его внешней нормали он представляется направленным по ходу часовой стрелки. Изгибающий момент считается положительным, когда на левом торцe правой части бруса он направлен по ходу часовой стрелки, а на правом торце левой части − против хода часовой стрелки. Поперечная сила положительна, если она стремится вращать отсеченную часть бруса (на которую она действует) по ходу часовой стрелки относительно любой точки на внутренней нормали к сечению. Положительные знаки усилий показаны на рис.2.2.

При определении знаков внутренних усилий в вертикальных брусьях необходимо какой-то конец бруса (нижний или верхний) принимать в качестве левого и отмечать его на чертеже каким-либо значком.

Основными понятиями науки о сопротивлении материалов являются понятия реального объекта и расчетной схемы, внешних и внутренних силовых факторов, геометрических характеристик, напряжений (полное, нормальное, касательное), деформаций и перемещений (линейные, угловые). Сюда относятся также основные физические законы, общие гипотезы и методы, при помощи которых устанавливаются зависимости между этими понятиями.

При выборе расчетной схемы в геометрию реального объекта вводятся упрощения.

Основным упрощающим приемом в сопротивлении материалов является приведение геометрической формы тела к схеме стержня, оболочки, пластины, массива.

Под стержнем понимается тело, одно из измерений которого (длина) значительно больше двух других. Геометрия стержня может быть образована путем перемещения плоской фигуры вдоль некоторой кривой. Эта кривая называется осью стержня, а плоская фигура, имеющая свой центр тяжести на оси и нормальная к ней, называется поперечным сечением. Для стержня обозначим продольную ось – z , в поперечном сечении главные оси – x и y .

Оболочка – такое геометрическое тело, у которого одно из измерений (толщина) значительно меньше других (радиусов кривизны и габаритных размеров). К оболочкам могут быть отнесены стенки баков, купола и др.

Как и всякая наука, сопротивление материалов идет от простого к сложному, решая сначала элементарные задачи растяжения-сжатия, сдвига, изгиба и кручения, а затем используя эти решения для более сложных задач.

Внешние силы, действующие на реальный объект, чаще всего известны. Обычно необходимо определить внутренние силы (результат взаимодействия между отдельными частями данного тела), которые неизвестны по величине и направлению, но знание которых необходимо для прочностных и деформационных расчетов. Определение внутренних сил осуществляется с помощью так называемого метода сечений , сущность которого заключается в следующем:

4. Внутренние силы находятся в равновесии с внешними силами, они могут быть определены из уравнений равновесия статики:

(1.1)

Любой внутренний силовой фактор в сечении равен алгебраической сумме соответствующих внешних сил, действующих с одной стороны от сечения.

Внутренний силовой фактор в сечении численно равен интегральной сумме соответствующих элементарных внутренних сил или моментов по всей площади сечения:

(1.1)

Классификация основных видов нагружения связана с внутренним силовым фактором, возникающим в сечении. Так, если в поперечных сечениях возникает только продольная сила N , а другие внутренние силовые факторы обращаются в нуль, то на этом участке имеет место растяжение или сжатие, в зависимости от направления силы N . Нагружение, когда в поперечном сечении возникает только поперечная сила Q , называют сдвигом.

Если в поперечном сечении возникает только крутящий момент М к (М z ), то стержень работает на кручение. В случае, когда от внешних сил, приложенных к стержню, возникает только изгибающий момент М х (или М у ), то такой вид нагружения называют чистым изгибом. Если в поперечном сечении наряду с изгибающим моментом (например, М х ) возникает поперечная сила Q y , то такой вид нагружения называют плоским поперечным изгибом (в плоскости yz ). Вид нагружения, когда в поперечном сечении стержня возникают только изгибающие моменты М х и М у , называют косым изгибом (плоским или пространственным). При действии в поперечном сечении нормальной силы N и изгибающих моментов М х и М у возникает нагружение, называемое сложным изгибом с растяжением (сжатием) или внецентренным растяжением (сжатием). При действии в сечении изгибающего момента и крутящего момента возникает изгиб с кручением.

Общим случаем нагружения называют случай, когда в поперечном сечении возникают все шесть внутренних силовых факторов.

К особым видам нагружения следует отнести смятие, когда деформация носит местный характер, не распространяясь на все тело, и продольный изгиб (частный случай общего явления потери устойчивости).

Метод сечений позволяет определить внутренние силы, которые возникают в стержне, находящемся в равновесии под действием внешней нагрузки.

ЭТАПЫ МЕТОДА СЕЧЕНИЙ

Метод сечений состоит из четырех последовательных этапов: разрезать, отбросить, заменить, уравновесить .

Разрежем стержень, находящийся в равновесии под действием некоторой системы сил (рис. 1.3, а) на две части плоскостью, перпендикулярной к его оси z.

Отбросим одну из частей стержня и рассмотрим оставленную часть.

Поскольку мы как бы разрезали бесчисленное множество пружинок, соединявших бесконечно близкие частицы тела, разделенного теперь на две части, в каждой точке поперечного сечения стержня необходимо приложить силы упругости, которые при деформации тела возникли между этими частицами. Иными словами, заменим действие отброшенной части внутренними силами(рис. 1.3, б).

ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ В МЕТОДЕ СЕЧЕНИЙ

Полученную бесконечную систему сил по правилам теоретической механики можно привести к центру тяжести поперечного сечения. В результате получим главный вектор R и главный момент M (рис. 1.3, в).

Разложим главный вектор и главный момент на составляющие по осям x, y (главные центральные оси) и z.

Получим 6 внутренних силовых факторов , возникающих в поперечном сечении стержня при его деформировании: три силы (рис. 1.3, г) и три момента(рис. 1.3, д).

Сила N - продольная сила

–поперечные силамы,

момент относительно оси z () – крутящий момент

моменты относительно осей x, y () – изгибающие моменты.

Запишем для оставленной части тела уравнения равновесия (уравновесим ):

Из уравнений определяются внутренние усилия, возникающие в рассматриваемом поперечном сечении стержня.

12.Метод сечений. Понятие о внутренних усилиях. Простые и сложные деформации. Деформации рассматриваемого тела (элементов конструкции) возникают от приложения внешней силы. При этом изменяются расстояния между частицами тела, что в свою очередь приводит к изменению сил взаимного притяжения между ними. Отсюда, как следствие, возникают внутренние усилия. При этом внутренние усилия определяются универсальным методом сечений (или метод разреза).Простые и сложные деформации. Использование принципа суперпозиции.

Деформация бруса называется простой, если в его поперечных сечениях возникает только один из вышеперечисленных внутренних силовых факторов. Здесь и далее силовым фактором будем называть любую силу или момент.

Лемма. Если брус прямой, то любая внешняя нагрузка (сложная нагрузка) может быть разложена на составляющие (простые нагрузки), каждая из которых вызывает одну простую деформацию (один внутренний силовой фактор в любом сечении бруса).

Читателю предлагается самостоятельно доказать лемму для любого частного случая нагружения бруса (подсказка: в ряде случаев требуется вводить фиктивные самоуравновешенные нагрузки).

Существуют четыре простые деформации прямого бруса:

Чистое растяжение – сжатие (N ≠ 0, Q y = Q z = M x = M y = M z =0);

Чистый сдвиг (Q y или Q z ≠ 0, N = M x = M y = M z = 0);

Чистое кручение (M x ≠ 0, N = Q y = Q z = M y = M z = 0);

Чистый изгиб (M y или M z ≠ 0, N = Q y = Q z = M x = 0).

На основании леммы и принципа суперпозиции задачи сопротивления материалов можно решать в следующей последовательности:

В соответствии с леммой сложную нагрузку разложить на простые составляющие;

Решить полученные задачи о простых деформациях бруса;

Просуммировать найденные результаты (с учётом векторного характера параметров напряженно-деформированного состояния). В соответствии с принципом суперпозиции это будет искомое решение задачи.

13. Понятие о напряжённых внутренних силах. Связь между напряжениями и внутренними силами. Механическое напряжение - это мера внутренних сил, возникающих в деформируемом теле, под влиянием различных факторов. Механическое напряжение в точке тела определяется как отношение внутренней силы к единице площади в данной точке рассматриваемого сечения.

Напряжения являются результатом взаимодействия частиц тела при его нагружении. Внешние силы стремятся изменить взаимное расположение частиц, а возникающие при этом напряжения препятствуют смещению частиц, ограничивая его в большинстве случаев некоторой малой величиной.

Q - механическое напряжение.

F - сила, возникшая в теле при деформации.

S - площадь.

Различают две составляющие вектора механического напряжения:

Нормальное механическое напряжение - приложено на единичную площадку сечения, по нормали к сечению (обозначается).

Касательное механическое напряжение - приложено на единичную площадку сечения, в плоскости сечения по касательной (обозначается).

Совокупность напряжений, действующих по различным площадкам, проведенным через данную точку, называется напряженным состоянием в точке.

В Международной системе единиц (СИ) механическое напряжение измеряется в паскалях.

14.Центральное растяжение и сжатие. Внутренние усилия. Напряжения. Условия прочности. Центральным растяжением (или центральным сжатием) называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает только продольная сила (растягивающая или сжимающая), а все остальные внутренние усилия равны нулю. Иногда центральное растяжение (или центральное сжатие) кратко называют растяжением (или сжатием) .

Правило знаков

Растягивающие продольные усилия принято считать положительными, а сжимающие - отрицательными.

Рассмотрим прямолинейный брус (стержень), нагруженный силой F

Растяжение стержня

Определим внутренние усилия в поперечных сечениях стержня методом сечения.

Напряжение - это внутренне усилие N, приходящее на единицу площади A. Формула для нормальных напряжений σ при растяжении

Так как поперечная сила при центральном растяжении-сжатии равна нулю2, то и касательное напряжение =0.

Условие прочности при растяжении-сжатии

max = | |

15. Центральное растяжение и сжатие. Условие прочности. Три типа задач при центральном растяжении (сжатии). Условие прочности позволяет решать три типа задач:

1. Проверка прочности (проверочный расчет)

2. Подбор сечения (проектировочный расчет)

3. Определение грузоподъемности (допускаемой нагрузки)

Для того чтобы судить о прочности исследуемого тела, находящегося в равновесии под действием внешних сил, прежде всего необходимо уметь определить вызванные ими внутренние усилия.

Внешние силы деформируют тело; внутренние усилия сопротивляясь этой деформации, стремятся сохранить первоначальную форму и объем тела.

Обнаружение внутренних усилий, их вычисление составляют первую и основную задачу сопротивления материалов, которая решается с помощью метода сечений, сущность этого метода заключается в следующем:

• - первая операция. Рассекаем (мысленно) стержень по сечению в котором следует определить величину внутренних усилий.
• - вторая операция. Отбрасываем какую-либо часть стержня, например, часть 1. Обычно отбрасывают ту часть, к которой приложено большее число сил.
• - третья операция. Заменяем силы, действующие на оставшуюся часть главным вектором и главным моментом, совместив центр приведения О с центром тяжести (ц. т.) сечения (на рис.1,б М не показан).
• - четвертая операция. Уравновешиваем оставшуюся часть, так как до рассечения она находилась в равновесии. Для этого в точке О прикладываем силу R и момент M, равные и противоположно направленные главному вектору и главному моменту. Усилия и и являются теми внутренними усилиями, которые передавались со стороны отброшенной на оставшуюся часть стержня.
• - Метод сечений является лишь первым шагом по пути исследования внутренних сил, так как с его помощью не удается выяснить закон распределения внутренних сил в сечении.

Составляя уравнения равновесия для отсечённой части тела, можно получить проекции на координатные оси как главного вектора, так и главного момента.

При расчёте брусьев начало координат помещают в центре тяжести рассматриваемого поперечного сечения его. Ось "Z" в прямом брусе совмещают с его продольной осью, в кривом - направляют по касательной к его оси в точке, где помещено начало координат.

Оси "X" и "Y" совмещают с направлениями главных центральных осей инерции рассматриваемого сечения. Проекции на координатные оси главного вектора и главного момента внутренних сил в брусе обозначают соответственно: , N, M x , M y , и называют внутренними силовыми факторами (внутренними усилиями).

Представляют собой поперечные силы в направлении оси "X" или "Y" (Н)

N - нормальную (продольную) силу (н.).

M x , M y - изгибающие моменты относительно осей соответственно "X" или "Y" (нм)

M z - крутящий момент (нм).

Рассмотрев отсечённую часть бруса (например правую) (рис.1,б) и составив на основании метода сечений уравнения равновесия, можно сказать следующее: нормальная сила N есть сила внутренняя, численно равная сумма проекции на продольную ось бруса всех внешних сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения.

• -поперечная сила в направлении оси "X" численно равна сумме проекций на ось "X" всех внешних сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения.
• - поперечная сила в направлении оси "Y" численно равна сумме проекций на ось "Y" всех внешних сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения

M x - изгибающий момент относительно оси "X" численно равна сумме моментов всех внешних сил, расположенных по одну сторону от этого сечения.

M Y - изгибающий момент относительно оси "Y" численно равна сумме моментов всех внешних сил, расположенных по одну сторону от этого сечения.

M z - изгибающий момент относительно оси "Z" численно равна сумме моментов всех внешних сил, расположенных по одну сторону от этого сечения.

Итак, в общем случае нагружения бруса внутренние силы в его поперечных сечениях приводятся к указанным шести внутренним силовым факторам.

Виды нагрузок, типы опор и балок.

Всякий стержень, работающий на изгиб, называется балкой.

Активные силы полагаются известными и сводятся к сосредоточенным силам F(H), парам сил m (нм) и распределенным по длине балки нагрузкам q (н/м). Величина и направление реакций R 1, R 2 определяются из условия равновесия балки и вида её опорных закреплений.

Балки могут иметь следующие три типа опор:

• 1. Жёсткое защемление или заделка. Конец балки лишён трёх степеней свободы. Он не может перемещаться ни в вертикальном, ни в горизонтальном направлениях и не имеет возможности поворачиваться. Следовательно, в этой опоре возникают три реакции: две силы R 1 и R 2 , препятствующие линейным смещениям конца балки и один реактивный момент M R , препятствующий повороту.
• 2. Шарнирно-неподвижная опора.

Такая опора лишает балку двух степеней свободы: вертикального и горизонтального смещений, но не препятствует вращению балки вокруг шарнира. Следовательно, в данной опоре возникают две составляющие опорной реакции R 1 и R 2 .

3. Шарнирно-подвижная опора - это наименее жёсткое опирание, она лишает конец балки только одной степени свободы - вертикального линейного перемещения. В шарнирно-подвижной опоре возникает одна реакция.

Следует обратить внимание на то, что данная опора препятствует перемещению конца балки как вниз, так и вверх. Необходимо заметить, что на практике плоскость катания подвижной опоры всегда делают параллельной оси балки. Тогда реакция подвижной опоры должна иметь направление перпендикулярное к оси балки.

Применяя разные виды опор, получаем различные типы балок. Так как балка в плоскости имеет три степени свободы, то для неподвижного закрепления балку необходимо лишить всех трёх степеней свободы.

Первый тип балки - консоль. Консоль имеет на одном конце заделку, отнимающую все три степени свободы, а другой её конец свободный. В заделке возникают: реактивный момент, вертикальная реакция и при наличии горизонтальной или наклонной нагрузки, горизонтальная реакция. Консоль применяется в технике в виде кронштейнов, мачт и т.д.

Второй тип балки - двухопорная балка. Опирание балки в двух точках осуществляется применением одной подвижной и одной неподвижной шарнирных опор, в совокупности отнимающих у балки все три степени свободы. В подвижной опоре возникает только вертикальная реакция, в неподвижной - вертикальная и горизонтальная (при наличии горизонтальных составляющих нагрузок).

Расстояния между опорами называется пролётом. Если одна из опор смещена на некоторое расстояние, то балка называется одноконсольной. Балки перечисляемых типов имеют минимально необходимое число опор, в связи с этим они статически определимы, т.е. их опорные реакции могут быть найдены из уравнения равновесия.

Постановка дополнительных опор делает балку статически неопределимой: расчёт таких балок возможен лишь с учётом их деформаций.

Метод сечений и внутренние силовые факторы (ВСФ)

Прочность твердого тела обусловлена силами сцепления между отдельными его частицами (атомами, молекулами и т. п.). В случае нагружения твердого тела внешней нагрузкой (активными и реактивными силами) внутренние силы сцепления изменяются. При этом появляются дополнительные внутренние силы, сопровождающие деформацию тела. Именно эти дополнительные внутренние силы и являются предметом изучения в курсе сопротивления материалов. По мере возрастания внешней нагрузки увеличиваются и внутренние силы, но лишь до определенного предела, при превышении которого наступает разрушение.

Для решения задач сопротивления материалов очень важно уметь определять внутренние силы и деформации стержня. При определении внутренних сил в каком-либо сечении стержня используют метод сечений.

Рассмотрим на конкретном примере сущность метода сечений. Возьмем стержень, находящийся в состоянии равновесия под действием сил Ft, F 2 , F } и F 4 (рис. 3,а). Для определения внутренних сил, действующих в произвольном сечении А, мысленно рассечем стержень и отбросим одну из двух полученных частей, например, правую. Тогда на оставшуюся левую часть стержня будут действовать внешние силы F и F 2 .

Рис. 3. Метод сечений: а) стержень, рассеченный плоскостью;

б) левая отсеченная часть стержня

Для того чтобы эта часть стержня оставалась в равновесии, следует действие отброшенной правой части стержня на оставшуюся левую часть заменить внутренними силами, приложенными по всему сечению (рис. 3, б).

Являясь внутренними силами для целого стержня, эти силы играют роль внешних сил для его левой части.

NB: в дальнейшем силы, возникающие в сечении, будем называть внутренними и в то же время на рисунках изображать их в виде внешних сил.

Распределенные по сечению внутренние силы образуют пространственную систему сил и приводятся к статически эквивалентным им обобщенным усилиям - главному вектору и главному моменту М гл (рис. 4, а).

В сопротивлении материалов, характеризуя усилия в стержне, обычно рассматривают поперечные сечения, а обобщенные усилия представляют в главной координатной системе (при этом ось z направляют по нормали к сечению, а оси х и у располагают в плоскости сечения).

Проецируя главный вектор /? г, на оси координат, получаем три его составляющие: N y Q y и Q x . Проекциями главного момента на координатные оси являются его составляющие: моменты М х, М у и Г, каждый из которых стремится повернуть отсеченную часть стержня вокруг одной из координатных осей. Эти составляющие главного вектора и главного момента на координатные оси называют внутренними силовыми факторами (рис. 4, б).

Рис. 4. Метод сечений: а) приведение системы внутренних сил в сечении к главному вектору и главному моменту; б) разложение главного вектора и главного момента на координатные оси

Внутренними силовыми факторами называются проекции главного вектора и главного момента всех внутренних сил, возникающих в поперечном сечении стержня, на главные координаты оси, помещаемые обычно в центр тяжести сечения.

В общем случае нагружения стержня в его поперечном сечении могут возникать шесть внутренних силовых факторов , которые имеют следующие названия:

S N - продольная (нормальная) сила;

S QyUQ x - поперечные силы;

S М Х 1 Л М у - изгибающие моменты;

S Т - крутящий момент.

При известных внешних силах все шесть внутренних силовых факторов могут быть определены из шести уравнений статики (уравнений равновесия), которые составляются для отсеченной части стержня (правой или левой):

NB: в приведенных условиях равновесия отсеченной части стержня символами F x omc , F y omc и F z ome обозначены проекции внешних сил на соответствующие координатные оси; а символом F° mc - внешние силы.

Рассмотренный метод сечений позволяет перевести внутренние силовые факторы в категорию внешних сил и, подчинив условиям равновесия, определить их величины и направления.

Сущность метода сечений заключается в следующих четырех действиях:

• 1. Рассечь мысленно стержень плоскостью, перпендикулярной его оси в том месте, где требуется найти внутренние силовые факторы (см. рис. 3, а).
• 2. Отбросить одну из частей стержня (правую или левую).
• 3. Заменить действие отброшенной части стержня на оставленную часть искомыми внутренними силовыми факторами (см. рис. 4, б). Равновесие оставленной части не нарушится лишь в том случае, если к ней приложить ВСФ, заменяющие действие отброшенной части. Для оставленной части они будут играть роль внешних сил (см. рис. 3, б).
• 4. Уравновесить оставленную часть стержня и из условий равновесия оставленной части стержня найти величины и направления внутренних силовых факторов.

От степени усвоения метода сечений зависит успешное изучение и понимание основных вопросов сопротивления материалов. Добиться этого несложно, если при применении метода сечений каждый раз последовательно использовать все четыре указанные операции. При этом следует помнить, что пропуск какой-либо из этих операций неизбежно приведет к ошибкам и недопониманию изучаемого вопроса.

При применении метода сечений должны быть предварительно определены все внешние силы и моменты, приложенные к отсеченной части стержня, в том числе и опорные реакции. Оставленная часть стержня должна рассматриваться как свободное тело, находящееся под действием приложенных к нему внешних сил, моментов и внутренних силовых факторов, не изменяющее своего положения в пространстве (опоры отсутствуют, так как их действия заменены опорными реакциями).